Для части траектории напряжений, касающейся границы отверстия (при ), составляющая а следовательно, и что соответствует граничным условиям В точке (рис.3.23) при Истинное значение коэффициента концентрации напряжений, согласно (3.22), равно:

Для решения более сложных задач искомую форму (сетку) неизвестного силового потока в плоскости комплексного переменного определяют путём отображения известной картины напряжений на некоторой вспомогательной плоскости комплексного переменного с помощью аналитической функции Всякая непрерывная функция комплексного переменного, обладающая отличной от нуля производной, даёт конформное отображение во всех точках области [24]. При конформном отображении все точки одной геометрически заданной области в координатах x, y непрерывно и однозначно представляются совокупностью точек другой геометрической области в координатах с сохранением подобия в бесконечно малых частях.

Сетка силового потока, состоящая из двух взаимно ортогональных линий, при конформном отображении из одной плоскости на другую также состоит из взаимно ортогональных линий, бесконечно малые отрезки которых, пересекаясь в одной точке, отображаются так, что отношение их остаётся постоянным, хотя форма и уравнения линий изменяются. Следовательно, неизученный силовой поток можно преобразовать с помощью соответствующей отображающей функции комплексного переменного в известный силовой поток, а искомое решение получить в виде Иначе говоря, сетку изучаемого силового потока можно получить с помощью обратного отображения известного простого силового потока. Геометрическая сущность конформного преобразования состоит в том, что координаты отображённой области на плоскости в отдельности не являются координатами исходной области на плоскости а преобразованная картина напряжений находится в аналитической зависимости от исходной картины.

Приведенное исследование открывает для твёрдого тела обширную область теории функций комплексного переменного, системно разработанную, широко и успешно применяемую в гидромеханике [24,25], которая значительно проще теории Колосова-Мусхелишвили и имеет множество решённых задач, аналогичных практически важным краевым задачам в механике разрушения. Достаточно сказать, что задача обтекания идеальной жидкостью пластинки под различным углом наклона, аналогичная задаче с трещиной в твёрдом теле, имеет решение в замкнутом виде.

Для доказательства сказанного и в качестве примера использования результатов решений, имеющихся в гидромеханике, рассмотрим задачу поперечного обтекания эллиптического цилиндра, с осями (большая) и (меньшая), потенциальным потоком идеальной жидкости, которая эквивалентна задаче обтекания эллиптического отверстия с теми же осями потенциальным силовым потоком. В примере, приведенном в [25] (стр.268), отображена с помощью преобразования внешность эллипса плоскости на внешность круга плоскости. Для комплексного потенциала течения в плоскости принято: С учётом ,