Для стационарного процесса распределения температуры имеем

Для более полной картины распределения тепла семейство изотерм дополняют линиями, касательные к которым в каждой точке температурного поля совпадают с соответствующими нормалями к изотермам. Такие линии называются линиями теплового тока. Касательные к изотермам и линиям теплового тока в общей точке пересекаются под прямым углом. Сетка изотерм и линий теплового тока представляет собой картину температурного поля (рис.3.13).

Уравнения температурного силового потока

Известно, что в твёрдом теле без внутреннего источника тепла напряжения могут возникать только при наличии температурного градиента. Не всегда температурным деформациям отвечают температурные напряжения.

Для получения уравнений температурных напряжений рассмотрим контрольный элемент, выделенный в окрестности какой-либо точки плоского температурного поля без внутреннего источника тепла (рис.3.14). В связи с разностью температуры на гранях элемента, параллельных оси возникают напряжения сдвига

где коэффициент линейного расширения; модуль упругости.

Так как в пределах элемента градиент температуры можно принять постоянным, то соответствующие производные можно приближённо заменить отношением а возникающие на его гранях внутренние усилия условно характеризовать нормальным напряжением, равным

Напряжение положительное (растяжение), если температура повышается. Размерность нормального напряжения: усилие, делённое на площадь и умноженное на единицу длины, так как при градиентной передаче усилий рационально учитывать погонное напряжение по направлению его передачи.

Учитывая градиентный характер распределения температурных усилий, соотношение между нормальным и касательным температурными напряжениями можно выразить следующим образом:

Касательное напряжение, по смыслу, является скоростью изменения нормального напряжения. Из соотношений (97) и (98) следует, что при равномерном изменении температуры напряжения равны нулю; при линейном законе её распределения имеем одноосное растяжение (сжатие). Нелинейному закону развития температуры соответствует плоское напряжённое состояние с компонентами температурных напряжений на гранях элемента, изображённых на рис.3.14.