Вычисления в криволинейных координатах

Силовой поток можно количественно характеризовать системой криволинейных траекторий напряжений. В таких условиях рационально рассматривать изменение параметров картины напряжений в криволинейных координатах, особенно для решения граничных задач, в которых необходимо определять характеристики граничной траектории напряжений. Граничные траектории, определяя напряжённое состояние, повторяют на отдельных участках форму исследуемого элемента.

В качестве криволинейных координат можно принять траектории напряжений и им ортогональные эквипотенциальные линии которые представляют собой искажение правильной прямоугольной сетки. Такая система координат отличается от обычной системы криволинейных координат, в которой координаты (линии главных кривизн) определены в пространстве и не зависят от напряжённого состояния исследуемой области. В рассматриваемой же системе координат положение кривых ортогональных линий не оговорено в условиях задач и зависит от напряжённого состояния среды. Однако найденное положение ортогональной сетки полностью определяет напряжённое состояние и представляет собой картину напряжений. Кроме этого, по форме траектории напряжений можно судить о критическом состоянии материала. Задачу во многих случаях можно значительно упростить, задавшись определённой формой траектории напряжений: в одних случаях это форма поверхности дефекта или конструктивного элемента, которую траектория повторяет, касаясь как минимум в отдельных точках этой поверхности; в других случаях можно получить реальную траекторию напряжений для определённых условий, используя различные аналогии (например, метод электрогидродинамических аналогий).

Для определения характеристик принятой системы криволинейных координат рассмотрим бесконечно малый элемент, выделенный в окрестности некоторой точки М ортогональными кривыми. и линейные элементы, соответствующие приращению криволинейных координат (рис.3.15). При бесконечно малых значениях и соответствующие им линейные элементы и пропорциональны дифференциалам криволинейных координат:

А и В – коэффициенты искажения, преобразующие приращения криволинейных координат в линейные отрезки.

Для рассматриваемой ортогональной сетки кривых характерно условие Следовательно, А=В=К. Величина как расстояние между траекториями напряжений зависит от степени искажения ортогональной сетки. Коэффициент является коэффициентом искажения этой сетки.

Рассмотрим некоторый участок кривой ортогональной сетки (рис.3.16). Отрезок направлен по радиусу кривизны в точке М. Из рисунка можно определить: